Théorème de König (théorie des ensembles)

Soit de tels ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$, ${\displaystyle (b_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle I}$.

Posons ${\displaystyle R}$ la réunion ${\displaystyle R:=\bigcup _{i\in I}(a_{i}\times \{i\})}$ puis ${\displaystyle P}$ le produit cartésien ${\displaystyle P:=\prod _{i\in I}b_{i}}$. On cherche à établir l'inégalité ${\displaystyle {\text{card}}(R)<{\text{card}}(P)}$. ${\displaystyle \,}$

D'une part, on introduit ${\displaystyle f}$ la fonction de ${\displaystyle R}$ dans ${\displaystyle P}$ définie par

${\displaystyle (\forall i\in I)(\forall \alpha \in a_{i})f(\alpha ,i)=\left(j\in J\mapsto {\begin{cases}\alpha {\text{ si }}j=i,\\a_{j}{\text{ sinon}}\end{cases}}\right).}$ Cette fonction est clairement injective de ${\displaystyle R}$ dans ${\displaystyle P}$. Donc, une première inégalité vient : ${\displaystyle {\text{card}}(R)\leqslant {\text{card}}(P)}$. ${\displaystyle \,}$

Cherchons d'autre part à raffiner l'inégalité. Soit ${\displaystyle (P_{i})_{i\in I}}$ une suite (quelconque) de parties de ${\displaystyle P}$ satisfaisant ${\displaystyle (\forall i\in I){\text{card}}(P_{i})\leqslant a_{i}}$. Amenons pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$ une projection ${\displaystyle {\text{pr}}_{i}(P_{i})}$ de ${\displaystyle P_{i}}$ dans ${\displaystyle b_{i}}$, dont l'image est ainsi un sous-ensemble propre de ${\displaystyle b_{i}}$. L'axiome du choix assure en ces conditions l'existence d'une suite de choix ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ dans le produit ${\displaystyle P}$ telle que ${\displaystyle (\forall i\in I)p_{i}\notin {\text{pr}}_{i}(P_{i})}$. Une telle suite n'appartient à aucun ${\displaystyle P_{i}}$, pour ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, ce qui montre que ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}P_{i}\subsetneq P}$. On peut conclure sur la négation ainsi donnée de l'égalité ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\prod _{i\in I}b_{i}}$. C.Q.F.D.

ℝ^ℕ étant équipotent à ℝ, il suffit d'appliquer le théorème de König avec ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ et ${\displaystyle \forall i\in I\quad b_{i}=\mathbb {R} }$.