Théorème de Battle-Harary-Kodama

Le théorème de Battle-Harary-Kodama est un théorème mathématique de la théorie topologique des graphes et qui doit son intitulé à une publication des mathématiciens Joseph Battle, Frank Harary et Yukihiro Kodama de l’année 1962^[1]. Le théorème est une réponse à une question sur la planarité de certains graphes simples et de leur graphe complémentaire et résout une conjecture de John L. Selfridge. Une démonstration plus simple a été donnée un peu plus tard, en 1963, par William Tutte^[2].

Énoncé

L'énoncé est le suivant^[3] :

Théorème — Si un graphe simple planaire $G=(V,E)$ a au moins 9 sommets, alors son graphe complémentaire^[4] ${\overline {G}}=(V,{\overline {E}})$ n'est pas planaire ; de plus, le nombre 9 est le plus petit entier naturel avec cette propriété.

Énoncé voisin

Un énoncé voisin, donné par Dennis P. Geller^[5], traite la question de la « planarité extérieure » : un graphe est planaire extérieur s'il admet une représentation plane dans laquelle les sommets se trouvent tous sur le bord de la face extérieure^[6]. Le théorème de Geller s'énonce comme suit :

Théorème — Si un graphe simple $G$ est planaire extérieur et a au moins 7 sommets, alors son graphe complémentaire ${\overline {G}}$ n'est pas planaire extérieur; de plus, le nombre 7 est le plus petit entier naturel avec cette propriété.

Bibliographie

Joseph Battle, Frank Harary et Yukihiro Kodama, « Every planar graph with nine points has a nonplanar complement », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 68,‎ 1962, p. 569–571 (MR 0155314, lire en ligne)
Frank Harary, Graph Theory, Addison-Wesley, 1969 (SUDOC 014230593)
William T. Tutte, « The non-biplanar character of the complete 9-graph », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 6,‎ 1963, p. 319–319 (lire en ligne)

Notes et références

↑ Battle, Harary et Kodama 1962.
↑ Tutte 1963.
↑ Harary 1969, Théorème 11.11.
↑ Le graphe complémentaire ${\overline {G}}=(V,{\overline {E}})$ a pour ensemble d'arêtes l'ensemble complémentaire ${\overline {E}}$ de l'ensemble $E$ des arêtes de $G$ .
↑ Harary 1969, Théorème 11.12.
↑ Harary 1969, p. 106.

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[1] Battle, Harary et Kodama 1962.

[2] Tutte 1963.

[FH-3] Harary 1969, Théorème 11.11.

[4] Le graphe complémentaire ${\overline {G}}=(V,{\overline {E}})$ a pour ensemble d'arêtes l'ensemble complémentaire ${\overline {E}}$ de l'ensemble $E$ des arêtes de $G$ .

[FH-2-5] Harary 1969, Théorème 11.12.

[FH-3-6] Harary 1969, p. 106.

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