Température inverse

La température inverse, notée β et parfois dite bêta thermodynamique, est une grandeur physique utilisée en physique statistique. Elle est reliée à la température T d'un système par β = 1/(kT), où k est la constante de Boltzmann^[1]^,^[2]. Son unité est le J^-1.

Interprétation

Physique statistique

On considère un système composé deux sous-systèmes, d'énergies E₁ et E₂. Le nombre de micro-états du système peut s'écrire en fonction de ceux des sous-systèmes :

\Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega (E_{1})\times \Omega (E_{2})

.

Cette relation est caractéristique de la fonction exponentielle et pousse à poser

\Omega (E)\propto \exp -\beta E

,

où β est à relier à la température du système lorsqu'il est à l'équilibre thermodynamique^[3].

Une autre version de l'interprétation utilise le fait que Ω est maximum à l'équilibre thermodynamique, ainsi que la relation E = E₁+E₂ pour un système isolé. Dès lors,

0={\frac {{\text{d}}\Omega _{1}}{{\text{d}}E_{1}}}\Omega _{2}+\Omega _{1}{\frac {{\text{d}}\Omega _{2}}{{\text{d}}E_{1}}}

ce qui, avec dE₁ = −dE₂, donne

{\frac {1}{\Omega }}_{1}{\frac {{\text{d}}\Omega _{1}}{{\text{d}}E_{1}}}={\frac {1}{\Omega }}_{2}{\frac {{\text{d}}\Omega _{2}}{{\text{d}}E_{2}}}

.

Cela motive l'écriture d'un paramètre

\beta ={\frac {{\text{d}}\log \Omega }{{\text{d}}E}}

qui est relié à la température, car à l'équilibre β₁ = β₂.

[réf. nécessaire]

Formulaire

*Principales relations entre la température inverse et les variables d'un système.*
Contexte	Formule	Notations
Thermodynamique Théorie cinétique des gaz Physique statistique^[1]	$\beta ={\frac {1}{kT}}$	T : température k : constante de Boltzmann
Ensemble microcanonique^[1]	$\beta ={\frac {{\text{d}}\log \Omega }{{\text{d}}E}}$	Ω : nombre de micro-états E : énergie du système.
Ensemble canonique^[4]	$E={\frac {{\text{d}}\log Z}{{\text{d}}\beta }}$	E : énergie Z : fonction de partition
Thermodynamique^[5]	$\beta ={\frac {1}{k}}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V,n}$	S : entropie U : énergie interne V : volume n : quantité de matière k : constante de Boltzmann

Sources

Bibliographie

Dietrich Stauffer, H. E. Stanley, Annick Lesne (trad. de l'anglais), Cours de Physique : De Newton à Mandelbrot, Paris/Berlin/Heidelberg etc., Springer, 1999, 364 p. (ISBN 2-287-59674-7, lire en ligne)

Références

1 2 3 (en) Eric W. Weisstein (dir.), « Thermodynamic Beta », sur Science World
↑ (fr) Stauffer et al. (1999), p. 164
↑ (fr) Stauffer et al. (1999), p. 166 (l'argument original utilise la densité de probabilité)
↑ (en) Michael Plischke et Birger Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, Singapour, World Scientific, 2005, 620 p. (ISBN 981-256-048-3, lire en ligne), p. 39
↑ (fr) Stauffer et al. (1999), p. 173 (la formule originale utilise 1/T)

Annexes

Articles connexes

Grandeurs physiques reliées : Température ~ Constante de Boltzmann
Concepts qui l'utilisent : Distribution de Boltzmann ~ Ensemble micro-canonique ~ Ensemble canonique

Portail de la physique

[SW-1] 1 2 3 (en) Eric W. Weisstein (dir.), « Thermodynamic Beta », sur Science World

[2] (fr) Stauffer et al. (1999), p. 164

[3] (fr) Stauffer et al. (1999), p. 166 (l'argument original utilise la densité de probabilité)

[4] (en) Michael Plischke et Birger Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, Singapour, World Scientific, 2005, 620 p. (ISBN 981-256-048-3, lire en ligne), p. 39

[5] (fr) Stauffer et al. (1999), p. 173 (la formule originale utilise 1/T)

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