Suite à divisibilité faible ou forte

En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers ${\displaystyle (a_{n})_{n\geqslant 1}}$ reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

La suite ${\displaystyle (a_{n})}$ est à divisibilité faible si pour tous entiers n, k > 0, ${\displaystyle a_{kn}}$ est un multiple de ${\displaystyle a_{n}}$, ou, autrement dit :

${\displaystyle {\text{si }}n\mid m\,{\text{ alors }}\,a_{n}\mid a_{m}}$.

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant ${\displaystyle n\land m=\operatorname {pgcd} (n,m)}$, une telle suite vérifie donc pour tous n, m :

${\displaystyle a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}}$.

Un exemple simple en est la suite ${\displaystyle (a^{n}-b^{n})}$ avec a et b entiers, car ${\displaystyle a^{kn}-b^{kn}=(a^{n})^{k}-(b^{n})^{k}}$ est divisible par ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$ d'après la formule de Bernoulli.

La suite ${\displaystyle (a_{n})}$ est à divisibilité forte si pour tous entiers n, m > 0,

${\displaystyle a_{n}\land a_{m}=|a_{n\land m}|}$.

Dans le cas où l'application ${\displaystyle n\mapsto a_{n}}$ est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible^[1] car ${\displaystyle n\mid m}$ si et seulement si ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (n,m)=n}$.

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type ${\displaystyle a_{n}=kn,}$ car ${\displaystyle kn\land km=k(n\land m)}$.

Toute suite de Lucas du premier type U(P,Q) est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si P et Q sont premiers entre eux^[2]. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

• La suite de Fibonacci ${\displaystyle (F_{n})=U(1,-1)}$.
• La suite de Pell ${\displaystyle (P_{n})=U(2,-1)}$.
• La suite des nombres de Mersenne ${\displaystyle (2^{n}-1)=U(2,1)}$.
• Plus généralement la suite des répunit en base b ${\displaystyle (R_{n}^{b})=U(b+1,b)}$.
• Encore plus généralement la suite ${\displaystyle \left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)=U(a+b,ab)}$ avec a et b entiers premiers entre eux.

• Les suites à divisibilité elliptique (en), qui sont à divisibilité faible.
• Les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives, qui sont des morphismes pour le produit, au lieu du pgcd.

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