Spirale de Poinsot

Les spirales de Poinsot regroupent plusieurs spirales dont l'équation polaire s'exprime à l'aide d'inverses de fonctions hyperboliques. Le nom de ces spirales fait référence au mathématicien Louis Poinsot qui a rencontré l'une d'entre elles comme cas particulier d'herpolhodie, en 1851 ^[1].

Selon les auteurs, cette famille de spirales est plus ou moins large. Certains^[2] considèrent comme étant une spirale de Poinsot toute spirale dont l'équation polaire s'écrit:

${\displaystyle \rho ={\frac {A}{a\cosh(k\theta )+b\sinh(k\theta )}}}$ avec a² + b² non nul

Cette famille regroupe trois sous-familles:

• celle pour lesquelles |a | > |b|, courbes bornées toutes semblables dont des représentants sont les courbes d'équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}}$
• celle pour lesquelles |a| < |b|, courbes possédant une asymptote dont les représentants sont les courbes d'équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}}$
• celle pour lesquelles |a| = |b|, qui regroupe toutes les spirales logarithmiques.

D'autres auteurs^[3]excluent de cette famille les spirales logarithmes ne conservant que les spirales de type borné ${\displaystyle \rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}}$ ou asymptotique ${\displaystyle \rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}}$.

D'autres enfin^[4] ne conservent que la spirale de type borné.

Les spirales de Poinsot font partie des spirales de Cotes^[2].

Son équation polaire se ramène à ${\displaystyle \rho \cosh(k\theta )=C}$.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que^[5]:

${\displaystyle \tan \alpha =k\tanh(k\theta )}$.

Le rayon de courbure a pour valeur^[6] :

${\displaystyle R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\tanh ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}}$

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphère^[2].

Son équation polaire se ramène à ${\displaystyle \rho \sinh(k\theta )=C}$.

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que^[7]:

${\displaystyle \tan \alpha =k\coth(k\theta )}$.

Le rayon de courbure a pour valeur^[7]:

${\displaystyle R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\coth ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}}$

Les spirales de Cotes, qui englobent les spirales de Poinsot.

• Francisco Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, t. 2, 1909
• (pt) Dina dos Santos Tavares, As espirais na Obra de Francisco Gomes Teixeira, Universidade de Aveiro, 2006 (lire en ligne)
• Robert Ferreol, « Spirale de Poinsot », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2014 (consulté le 20 novembre 2018)

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