Représentation conjuguée

En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel complexe V, on définit sa représentation conjuguée ρ sur le conjugué V de V.

Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ(g) est l'application linéaire conjuguée de ρ(g). Pour une représentation unitaire, la représentation conjuguée est équivalente à la représentation duale.
De même, si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie réelle ${\mathfrak {g}}$ , alors ρ est la représentation de ${\mathfrak {g}}$ définie par :pour tout élément u de ${\mathfrak {g}}$ , ρ(u) est l'application linéaire conjuguée de ρ(u)^[1].Si ${\mathfrak {g}}$ est une algèbre de Lie (complexe) involutive (i.e. munie d'une involution * compatible avec le crochet de Lie), alorspour tout élément u de ${\mathfrak {g}}$ , ρ(u) est le conjugué de -ρ(u*).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Complex conjugate representation » (voir la liste des auteurs).

↑ C'est la convention des mathématiciens. Les physiciens, qui utilisent des conventions différentes dans lesquelles le crochet de Lie de deux vecteurs réels est un vecteur imaginaire pur, insèrent un signe « - » dans la définition.