Racine douzième de deux

La racine douzième de deux, notée ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ ou ${\displaystyle 2^{1/12}}$, est un nombre algébrique irrationnel, approximativement égal à 1,0594631. Il représente, dans la théorie musicale occidentale, le rapport de fréquence (intervalle musical) d'un demi-ton, dans le système musical tempéré à douze demi-tons. Il permet de mesurer la fréquence d'une note en hertz (Hz) à partir d'une autre note dont la fréquence est connue, pour peu que l'intervalle entre les deux notes soit composé d'un nombre entier de demi-tons.

Un intervalle musical est un rapport de fréquences, et l'échelle chromatique à tempérament égal divise l'octave (qui a un rapport de 2:1) en douze parties égales (les demi-tons). Chaque note a une fréquence en hertz (Hz) qui est ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ fois plus haute que la note en-dessous^[1].

En appliquant cette valeur sur les notes de la gamme, partant du La₄₄₀ dont la fréquence est de 440 Hz, on peut calculer leur fréquence en multipliant 440 Hz par le coefficient correspondant.

Par exemple, pour trouver la fréquence du Do, trois demi-tons au dessus du La 440 :

440 Hz × ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{3}}$ = 440 Hz × 1,189207 = 523.25 Hz.

Note	Intervalle standard relativement au La 440	Fréquence (Hz)	Multiplicateur	Valeur (à six décimales)	Intonation juste
La	Unisson	440.00	20⁄12 ou 1	1,000 000	1
La dièse / Si bémol	Seconde mineure	466.16	21⁄12 ou ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$	1,059 463	≈ 16⁄15
Si	Seconde majeure	493.88	22⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{2}}$	1,122 462	≈ 9⁄8
Do	Tierce mineure	523.25	23⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{3}}$	1,189 207	≈ 6⁄5
Do dièse / Ré bémol	Tierce majeure	554.37	24⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{4}}$	1,259 921	≈ 5⁄4
Ré	Quarte	587.33	25⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{5}}$	1,334 839	≈ 4⁄3
Ré dièse / Mi bémol	Quarte augmentée / Quinte diminuée / Triton	622.25	26⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt {2}})}$	1,414 213	≈ 7⁄5
Mi	Quinte	659.26	27⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{7}}$	1,498 307	≈ 3⁄2
Fa	Sixte	698.46	28⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{8}}$	1,587 401	≈ 8⁄5
Fa dièse / Sol bémol	Sixte majeure	739.99	29⁄12 ou ${\displaystyle ({\sqrt[{12}]{2}})^{9}}$	1,681 792	≈ 5⁄3
Sol	Septième mineure	783.99	210⁄12	1,781 797	≈ 16⁄9
Sol dièse / La bémol	Septième majeure	830.61	211⁄12	1,887 748	≈ 15⁄8
La	Octave	880.00	212⁄12 ou 2	2,000 000	2

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