Q-dérivée

En mathématiques, notamment en combinatoire et en calcul quantique, la q-dérivée (aussi appelée dérivée de Jackson) est un q-analogue de la dérivée ordinaire, introduite par Frank Hilton Jackson. C'est l'inverse de la q-intégration de Jackson.

La q-dérivée (dérivée de Jackson) d'une fonction ${\displaystyle f}$ est définie comme^[1],[2],[3] :$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$$

Elle est souvent notée ${\displaystyle D_{q}f(x)}$.

Formellement, en termes d'opérateur de décalage de Lagrange en variable logarithmique, on peut écrire :

$${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}{\frac {q^{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\ln x}}-1}{q-1}}}$$.

Ceci montre que ${\displaystyle D_{q}}$ tend vers la dérivée ordinaire ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ lorsque ${\displaystyle q}$ tend vers 1.

La q-dérivée a des propriétés analogues à la dérivée usuelle. C'est un opérateur linéaire :

${\displaystyle D_{q}\left(f(x)+g(x)\right)=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)}$.

Il existe une règle de produit analogue à la règle du produit pour la dérivée ordinaire :

${\displaystyle D_{q}\left(f(x)g(x)\right)=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x)}$.

On a aussi l'identité suivante pour les quotients :

${\displaystyle D_{q}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0}$.

Pour la composition, on obtient, avec ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$ :

${\displaystyle D_{q}f\left(g(x)\right)=D_{q^{k}}(f)\left(g(x)\right)D_{q}(g)(x)}$.

La fonction propre de la q-dérivée est la q-exponentielle ${\displaystyle e_{q}(x)}$.

La q-dérivation ressemble à une dérivation ordinaire, avec quelques différences notables. Par exemple, la q-dérivée du monôme est^[2] :

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

où ${\displaystyle [n]_{q}}$ est le q-symbole de Pochhammer de ${\displaystyle n}$. On peut noter que ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$, et on retrouve alors la dérivée ordinaire.

La q-dérivée ${\displaystyle n}$-ième d'une fonction vérifie^[3] :

${\displaystyle \left(D_{q}^{n}f\right)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {\left(q;q\right)_{n}}{\left(1-q\right)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

si la dérivée ${\displaystyle n}$-ième ordinaire de ${\displaystyle f}$ existe en ${\displaystyle x=0}$. Ici, ${\displaystyle \left(q;q\right)_{n}}$ est le q-symbole de Pochhammer et ${\displaystyle [n]!_{q}}$ est la q-factorielle. Si ${\displaystyle f(x)}$ est analytique, on peut appliquer la formule de Taylor à la définition de ${\displaystyle D_{q}\left(f(x)\right)}$ et ainsi obtenir :

${\displaystyle D_{q}\left(f(x)\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(q-1\right)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x)}$.

Le q-analogue du développement de Taylor d'une fonction autour de 0 devient^[2] :

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(D_{q}^{n}f\right)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}}$.

Pour les q-dérivées d'ordre supérieur, on a l'identité suivante^[4],[5] :

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{\left(1-q\right)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f\left(q^{k}x\right)}$,

où ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ est le coefficient q-binomial. En changeant l'ordre de sommation avec ${\displaystyle r=n-k}$, on obtient la formule suivante^[4],[6] :

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {\left(-1\right)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{\left(1-q\right)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}\left(-1\right)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f\left(q^{n-r}x\right)}$.

Les dérivées d'ordre supérieur sont utilisées pour la formule de q-Taylor et la formule de q-Rodrigues (une formule utilisée pour construire les q-polynômes orthogonaux^[4]).

On a :

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} ,D_{q}(a)=0}$

${\displaystyle D_{q}(x)=1}$

${\displaystyle \forall n\geqslant 2,\ D_{q}(x^{n})={\frac {q^{n}-1}{q-1}}x^{n-1}=[n]_{q}x^{n-1}.}$

${\displaystyle \forall n\geqslant 1,\ D_{q}(x^{-n})=[-n]_{q}x^{-n-1}.}$

${\displaystyle D_{q}({\sqrt {x}})={\frac {1}{(1+{\sqrt {q}}){\sqrt {x}}}}.}$

Les q-dérivées des autres fonctions usuelles (exponentielle, trigonométriques) ne sont pas définies de façon unique (voir q-exponentielle.

De façon analogue, pour une fonction f donnée, une q-primitive F sera une fonction telle que sa q-dérivée soit f. En partant de la définition de la q-dérivée, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} ,F(qx)=F(x)+(q-1)xf(x)&\Longleftrightarrow &F(x)=F\left({\frac {x}{q}}\right)+(q-1){\frac {x}{q}}f\left({\frac {x}{q}}\right)&\\&\Longleftrightarrow &F(x)=\left[F\left({\frac {x}{q^{2}}}\right)+(q-1){\frac {x}{q^{2}}}f\left({\frac {x}{q^{2}}}\right)\right]+(q-1){\frac {x}{q}}f\left({\frac {x}{q}}\right)&\\&\Longleftrightarrow &F(x)=F\left({\frac {x}{q^{n}}}\right)+(q-1)x\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{q^{n}}}f\left({\frac {x}{q^{n}}}\right)&\\&\Longleftrightarrow &F(x)=C+(q-1)x\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{q^{n}}}f\left({\frac {x}{q^{n}}}\right)&\end{aligned}}}$

La dernière équivalence est vraie qui F est continue en 0 et si la série converge.

Cette définition n'induit pas qu'une q-primitive de la fonction f est nécessairement une q-analogue d'une primitive de f.

Le q-calcul a été utilisé en apprentissage automatique pour concevoir des fonctions d'activation stochastique^[16].

Pour d'autres formes de q-dérivée, voir Chung et al. 1994.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Q-derivative » (voir la liste des auteurs).

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• (en) K. S. Chung, W. S. Chung, S. T. Nam et H. J. Kang, « New q-derivative and q-logarithm », International Journal of Theoretical Physics, vol. 33, n^o 10,‎ 1994, p. 2019–2029 (DOI 10.1007/BF00675167, Bibcode 1994IJTP...33.2019C, S2CID 117685233).
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• Calcul quantique

• (en) « What is q-calculus? », sur Mathematical Garden, 2008 (consulté le 7 juillet 2024).

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