Opérateur de Householder

En algèbre linéaire, l'opérateur de Householder est défini comme suit. Soit ${\displaystyle V\,}$un espace euclidien ou hermitien, avec un produit scalaire ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ et un vecteur unitaire noté ${\displaystyle u\in V}$. Alors l'opérateur de Householder

${\displaystyle H_{u}:V\to V\,}$

est défini par

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\,\langle x,u\rangle \,u\,}$

Cet opérateur est une réflexion par rapport à l'hyperplan de vecteur normal ${\displaystyle u}$^[1].

Il est également courant de choisir un vecteur non unitaire ${\displaystyle q\in V}$, et de le normaliser directement dans l'expression de l'opérateur Householder comme suit :

${\displaystyle H_{q}\left(x\right)=x-2\,{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}\,q\,}$

L'opérateur de Householder vérifie les propriétés suivantes :

• il est linéaire ; si ${\displaystyle V}$ est un espace vectoriel sur un champ ${\displaystyle K}$, alors

${\displaystyle \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in K^{2},\,\forall \left(x,y\right)\in V^{2},\,H_{q}\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda \ H_{q}\left(x\right)+\mu \ H_{q}\left(y\right)}$

• il est autoadjoint
• si ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, alors il est orthogonal, et s ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ il est unitaire.

Sur un espace vectoriel réel ou complexe, l'opérateur de Householder est également connu sous le nom de transformation de Householder.

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