Nombre d'Euclide

En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme ${\displaystyle E_{n}=p_{n}\#+1}$, où ${\displaystyle p_{n}\#=2\times 3\times ...\times p_{n}}$ est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des ${\displaystyle n}$ premiers nombres premiers^[1]. Ils sont ainsi nommés en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, ${\displaystyle E_{n}}$ est divisible par un nombre premier ${\displaystyle p}$ qui est forcément strictement supérieur à ${\displaystyle p_{n}}$ , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers ${\displaystyle (p_{n})}$ n'est pas finie.

Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des ${\displaystyle n}$ premiers nombres premiers^[2].

Les six premiers nombres d'Euclide^[3]  : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers^[4], ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés^[5].

Nombre premier primoriel

• Arithmétique et théorie des nombres