Localisation d'une catégorie

Si ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ est un ensemble de morphismes, il est possible de construire une localisation ${\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ par rapport à ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$^[1] :

• les objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]}$ sont les mêmes que ceux de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• les morphismes entre deux objets ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des classes d'équivalence de « zig-zags » dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ : ${\displaystyle A\xrightarrow {f_{1}} X_{1}\xleftarrow {w_{1}} X_{2}\xrightarrow {f_{2}} \cdots \xleftarrow {w_{n-1}} X_{p-1}\xrightarrow {f_{n}} X_{p}\xleftarrow {w_{n}} B}$ avec ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}\in {\mathcal {W}}}$ et ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ des morphismes quelconques de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Un tel « zig-zag » représente la composée ${\displaystyle w_{n}^{-1}\circ f_{n}\circ w_{n-1}^{-1}\cdots f_{2}\circ w_{1}^{-1}\circ f_{1}}$.

Une classe de morphismes ${\displaystyle {\mathcal {W}}\subset \mathrm {mor} ({\mathcal {C}})}$ admet un calcul des fractions à gauche si

• il contient les morphismes identités : ${\displaystyle \forall X\in \mathrm {obj} ({\mathcal {C}}),{\text{id}}_{X}\in {\mathcal {W}}}$,
• il est stable par composition : ${\displaystyle \forall u,v\in {\mathcal {W}},u\circ v\in {\mathcal {W}}}$,
• tout diagramme ${\displaystyle X'\xleftarrow {u} X\xrightarrow {f} Y}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, avec ${\displaystyle u\in {\mathcal {W}}}$ peut être complété en un carré commutatif, avec ${\displaystyle v\in {\mathcal {W}}}$ : ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\scriptstyle u\displaystyle \downarrow &&\downarrow \scriptstyle v\displaystyle \\X'&\xrightarrow {g} &Y\end{matrix}}}$,
• pour tous morphismes parallèles ${\displaystyle X{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}Y}$ tel qu'il existe ${\displaystyle u\in {\mathcal {W}}}$ tel que ${\displaystyle fu=gu}$, alors il existe ${\displaystyle v\in {\mathcal {W}}}$ tel que ${\displaystyle vf=vg}$.

Si ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ admet un calcul des fractions, alors la localisation de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ par rapport à ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ existe et admet une présentation simple^[2] :

• les objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathcal {W}}^{-1}]}$ sont les mêmes que ceux de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ;
• les morphismes entre deux objets ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des classes d'équivalence de diagrammes dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de la forme : ${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xleftarrow {w} B}$ avec ${\displaystyle w\in {\mathcal {W}}}$ et ${\displaystyle f}$ des morphismes quelconques de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Un tel diagramme représente la composée ${\displaystyle f\circ w^{-1}}$ ;
• deux tels diagrammes ${\displaystyle A\xrightarrow {f_{1}} X_{1}\xleftarrow {w_{1}} B}$ et ${\displaystyle A\xrightarrow {f_{2}} X_{2}\xleftarrow {w_{2}} B}$ sont équivalents s'il existe ${\displaystyle X_{1}\xrightarrow {v_{1}} X_{3}}$ et ${\displaystyle X_{2}\xrightarrow {v_{2}} X_{3}}$ tels que ${\displaystyle v_{1}\circ w_{1}=v_{2}\circ w_{2}}$ et ${\displaystyle v_{1}\circ f_{1}=v_{2}\circ f_{2}}$. Cette relation d'équivalence est similaire à celle intervenant dans la construction du corps des fractions ou, plus généralement, dans une localisation d'un anneau commutatif.