Limite newtonienne

La limite newtonienne est la limite de la relativité générale où celle-ci correspond à la gravitation newtonienne.

La limite newtonienne est une approximation qui suppose que les particules se déplacent lentement par rapport à la vitesse de la lumière dans un champ gravitationnel faible et statique^[1].

La gravitation newtonienne n'est pas une théorie métrique de la gravitation^[2]. Mais il peut lui être associée une métrique qui reproduise les équations du mouvement newtonien^[2]. Il s'agit de l'approximation newtonienne de la métrique de Schwarzschild^[2]. Contrairement à celle-ci, son approximation newtonienne ne peut rendre compte ni de l'avance du périhélie de Mercure ni de la courbure des rayons lumineux^[2]. À l'approximation newtonienne, les coefficients de la métrique sont^[3],[4],[5] :

${\displaystyle g_{00}=-c^{2}-2\Phi }$,

${\displaystyle g_{0i}=0}$,

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$,

où ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Kronecker^[6],[7] défini par^[8],[9] :

${\displaystyle \delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq {j}\end{cases}}}$.

Ainsi, l'approximation newtonienne de la métrique est^{[10],[11],[12],[13]} :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\left({\frac {1+2\Phi }{c^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}$.

À la limite newtonienne, la métrique s'écrit^[14] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\left(1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}\right)}$,

où :

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle \Phi }$ est le potentiel gravitationnel newtonien^[14].