Gamme diatonique de Ptolémée

Gamme diatonique de do majeur, à tempérament égal et la version ptolémaïque, à « intonation juste » .

L'échelle diatonique de Ptolémée, également connue sous le nom de séquence ptolémaïque[1], échelle majeure à intonation juste[2],[3],[4], ou échelle diatonique syntonique, est un système d'accord de l'échelle diatonique proposé par Claude Ptolémée[5], cité par Zarlino comme étant la seule échelle pouvant être naturellement chantée, et correspondant à l'intonation juste moderne[6]. Cette échelle est également reprise par Giuseppe Tartini[7].

C'est l'équivalent occidental de la gamme indienne svara gandharam, qui comporte exactement les mêmes intervalles.

Il est produit par un tétracorde composé d'un ton supérieur (9:8), d'un ton inférieur (10:9) et d'un demi-ton diatonique (16:15)[6].

C'est ce qu'on appelle le tétracorde diatonique « intense » de Ptolémée, par opposition au tétracorde diatonique « doux » de Ptolémée, formé par des intervalles de 21:20, 10:9 et 8:7[8]. La structure de l'échelle diatonique « intense » est illustrée dans les tableaux ci-dessous, où J signifie un ton plus grand, t est pour un ton réduit et s, pour un demi-ton :

Note Nom Do Ré Mi Fa Sol La Si Do
Appellation anglo-saxonne C D E F G A B C
Rapport à Do 1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2:1
Harmonique
millièmes 0 204 386 498 702 884 1088 1200
écarts Nom J t s J t J s
Rapport 9:8 10:9 16:15 9:8 10:9 9:8 16:15
millièmes 204 182 112 204 182 204 112
Note Nom La Si Do Ré Mi Fa Sol La
Rapport à La 1:1 9:8 6:5 4:3 3:2 8:5 9:5 2:1
Harmonique de la fondamentale Si bémol 120 135 144 160 180 192 216 240
millièmes 0 204 316 498 702 814 1018 1200
écart Nom J s t J s J t
Rapport 9:8 16:15 10:9 9:8 16:15 9:8 10:9
millièmes 204 112 182 204 112 204 182

Comparaison avec d'autres gammes diatoniques

Pour obtenir une gamme « intense » de Ptolémée à partir d'une gamme tempérée: abaisser les hauteurs des notes Mi, La et Si de l'accord pythagoricien d'un comma syntonique, 81/80, pour donner une intonation juste.

Intervalles entre les notes (intervalles du loup en gras):

Do Ré Mi Fa Sol La Si Do' Ré' Mi' Fa' Sol' La' Si' Do"
Do 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 9/4 5/2 8/3 3 10/3 15/4 4
Ré 8/9 1 10/9 32/27 4/3 40/27 5/3 16/9 2 20/9 64/27 8/3 80/27 30/9 32/9
Mi 4/5 9/10 1 16/15 6/5 4/3 3/2 8/5 9/5 2 32/15 12/5 8/3 3 16/5
Fa 3/4 27/32 15/16 1 9/8 5/4 45/32 3/2 27/16 15/8 2 9/4 5/2 45/16 3
Sol 2/3 3/4 5/6 8/9 1 10/9 5/4 4/3 3/2 5/3 16/9 2 20/9 5/2 8/3
La 3/5 27/40 3/4 4/5 9/10 1 9/8 6/5 27/20 3/2 8/5 9/5 2 9/4 12/5
Si 8/15 9/15 2/3 32/45 4/5 8/9 1 16/15 6/5 4/3 64/45 8/5 16/9 2 32/15
Do' 1/2 9/16 5/8 2/3 3/4 5/6 15/16 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
Échelle diatonique de Pythagore sur Do . Notation de Johnston ; + indique le comma syntonique.

Comparativement à l'accord de Pythagore, alors que les deux ne fournissent que des quartes et des quintes parfaites, l'accord ptolémaïque fournit aussi des tierces dites « justes », plus douces et plus faciles à accorder[9].

Notez que Ré–Fa est une tierce mineure pythagoricienne (32:27), Ré–La est une quinte défectueuse (40:27), Fa–Ré est une sixte majeure pythagoricienne (27:16) et La–Ré est une quarte défectueuse (27:20). Tous ces éléments diffèrent de leurs justes homologues d'un comma syntonique (81:80).

Fa-Si est un triton (plus précisément, la quarte augmentée), ici 45/32.

Cette gamme peut également être considérée comme dérivée de l'accord majeur, et des accords majeurs au-dessus et au-dessous : Fa-La-Do ; Do-Mi-Sol ; Sol-Si-Ré.

Références

  1. ↑ Partch, Harry (1979). Genesis of a Music, pp. 165, 173. (ISBN 978-0-306-80106-8).
  2. ↑ Murray Campbell, Clive Greated (1994). The Musician's Guide to Acoustics, pp. 172–73. (ISBN 978-0-19-816505-7).
  3. ↑ Wright, David (2009). Mathematics and Music, pp. 140–41. (ISBN 978-0-8218-4873-9).
  4. ↑ Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "A Notation System for Extended Just Intonation" (2003), "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p. 78. (ISBN 978-0-252-03098-7).
  5. ↑ see John Wallis, Opera Mathematica, Vol. III, Oxford, , p. 39 (Contains Harmonics by Claudius Ptolemy.)
  6. 1 2 Chisholm, Hugh (1911). The Encyclopædia Britannica, Vol.28, p. 961. The Encyclopædia Britannica Company.
  7. ↑ Dr. Crotch (October 1, 1861). "On the Derivation of the Scale, Tuning, Temperament, the Monochord, etc.", The Musical Times, p. 115.
  8. ↑ Chalmers, John H. Jr. (1993). Divisions of the Tetrachord. Hanover, NH: Frog Peak Music. (ISBN 0-945996-04-7) Chapter 2, Page 9
  9. ↑ Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p. 100. (ISBN 978-0-252-03098-7).
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