Formule des probabilités composées

En mathématiques, la formule des probabilités composées (ou formule des probabilités conditionnelles en cascade) permet de calculer la probabilité d’une intersection d’évènements (non nécessairement indépendants) à l’aide de probabilités conditionnelles.

Soient $A_{1},\dots ,A_{n}$ des évènements dont l’intersection est de probabilité non nulle^[1].

On a $\mathbf {P} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\mathbf {P} (A_{1})\times \mathbf {P} (A_{2}|A_{1})\times \mathbf {P} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\times \cdots \times \mathbf {P} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})$ .

Ce résultat se démontre directement par récurrence. Il justifie le calcul des probabilités à l’aide d’un arbre de probabilité.

La formule des probabilités composées est notamment utilisée dans le cadre de processus stochastiques discrets.

Voir aussi

Formule des probabilités totales

Notes et références

↑ Plus généralement, la formule est valable dès lors que les probabilités conditionnelles ont un sens, c’est-à-dire si l’intersection des $n -1$ premiers évènements $A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}$ est de probabilité non nulle. Si la probabilité de l’intersection des $n$ évènements est nulle, alors la dernière probabilité conditionnelle aussi donc l’égalité se réduit simplement à $0 = 0$ .

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