Fonction êta de Dedekind

La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Pour un tel nombre complexe ${\displaystyle \tau }$, on pose ${\displaystyle q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }}$ et la fonction êta est alors : ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$, en posant ${\displaystyle q^{1/24}=\exp \left({\frac {{\rm {i}}\pi \tau }{12}}\right)}$.

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles

${\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp \left({\frac {{\rm {i}}\pi }{12}}\right)\eta (\tau )}$

et

${\displaystyle \eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)={\frac {\sqrt {\tau }}{\sqrt {i}}}\eta (\tau )}$.

La seconde se généralise : soient ${\displaystyle a,b,c,d}$ des entiers tels que ${\displaystyle ad-bc=1}$ (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec ${\displaystyle c>0}$. Alors^[1]

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d){\frac {\sqrt {c\tau +d}}{\sqrt {\rm {i}}}}\eta (\tau )}$

où

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \left\{{\rm {i}}\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)\right\}}$

et ${\displaystyle s}$ est la fonction somme de Dedekind :

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{1\leq n<k}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)}$.

À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires.

En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass, forme modulaire de poids 12, peut être défini comme

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$ (certains auteurs omettent le facteur ${\displaystyle (2\pi )^{12}}$, pour que la série soit à coefficients entiers).

La fonction d'Euler

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)=q^{-1/24}\eta (\tau )}$

a un développement en série donné par l'identité d'Euler :

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}}$.

Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dedekind eta function » (voir la liste des auteurs).
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
• (en) Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1990, 204 p. (ISBN 0-387-97127-0), « The Dedekind eta function »