Catégorie opposée

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la catégorie opposée ou catégorie duale ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ d'une catégorie ${\displaystyle C}$ donnée est la catégorie formée en inversant les morphismes, c'est-à-dire en échangeant la source et la but de chaque morphisme de ${\displaystyle C}$. En effectuant l’inversion deux fois, on obtient à nouveau la catégorie d’origine ; en symboles, ${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}$.

• Si (X,≤) est un ensemble partiellement ordonné, on peut lui associer une catégorie C_(X,≤) dont les objets sont les éléments de X, avec une flèche f_x,y de x vers y si x≤y. Alors la catégorie opposée à C_(X,≤) est la catégorie associé à l'ordre ≥, défini par

x ≥ y si et seulement si y ≤ x.

• Étant donné un semi-groupe ( S, ·), on peut définir le semi-groupe opposé comme ( S, ·) ^op = ( S, *) où x * y ≔ y · x pour tout x, y dans S . Cette construction fonctionne également pour les groupes et pour les anneaux, appliquée au semi-groupe multiplicatif de l'anneau.

La catégorie opposée préserve les produits :

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}$

La catégorie opposée préserve les foncteurs :

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}$ ^[1],[2]

De plus, dans la catégorie opposée sont échangés sommes et produits, sommes amalgamées et produits fibrés, limites inductives et limites projectives.

• Dualité (théorie des catégories)
• Dualité (mathématiques)
• Foncteur adjoint
• Foncteur contravariant
• Foncteur opposé

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• Steve Awodey, Category theory, Oxford, 2nd, 2010, 53–55 (ISBN 978-0199237180, OCLC 740446073, lire en ligne )

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