Anneau semi-primitif

En algèbre, un anneau est dit semi-primitif (ou Jacobson-semi-simple, ou J-semi-simple) si son radical de Jacobson est l'idéal nul.

C'est un type d'anneau plus général que celui d'anneau semi-simple, mais dont les modules simples fournissent suffisamment d'informations sur l'anneau.

• Un anneau ${\displaystyle R}$ est semi-primitif si et seulement si pour tout ${\displaystyle x\in R^{*}}$, il existe ${\displaystyle y\in R}$ tel que ${\displaystyle yx+1\notin R^{\times }}$ (le groupe des inversibles de ${\displaystyle R}$) ou encore si pour tout idéal non nul ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle 1+I\not \subset R^{\times }}$^[1].
• Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il a un module à gauche semi-simple fidèle ou, ce qui est équivalent, s'il a un module à droite semi-simple fidèle.
• Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct (en) d'anneaux primitifs (en). Ces derniers sont décrits par le théorème de densité de Jacobson (en).
• En particulier :
  • un anneau commutatif est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct de corps^[2] ;
  • tout produit sous-direct d'anneaux unitaires simples^[3] est semi-primitif, mais la réciproque est fausse (voir infra).
• Un anneau est semi-simple si et seulement s'il est semi-primitif et artinien à gauche^[4]. De tels anneaux sont parfois dits « artiniens semi-simples »^[5].

• Tout anneau intègre ${\displaystyle R}$ tel que ${\displaystyle |R|>|R^{\times }|}$ est semi-primitif^[6]. Par exemple : l'anneau des entiers et celui des entiers de Gauss sont semi-primitifs^[7].
• L'anneau des entiers algébriques de tout corps de nombres est semi-primitif^[8].
• Plus généralement, toute algèbre de type fini intègre sur un anneau semi-primitif intègre est semi-primitive^[9].
• L'anneau des entiers algébriques est semi-primitif^[10].
• L'anneau ${\displaystyle C(X)}$ des fonctions continues d'un espace topologique ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est semi-primitif^[11] (car pour chaque point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, l'idéal des fonctions nulles en ${\displaystyle x}$ est maximal). De même, l'anneau des fonctions entières est semi-primitif^[12].
• Tout produit d'anneaux semi-primitifs est semi-primitif^[13].
• L'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension dénombrable est semi-primitif mais n'est pas un produit sous-direct d'anneaux simples^[14].
• Tout anneau régulier au sens de von Neumann (en) est semi-primitif.

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